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Comparison of numerical methods for modelling ocean circulation in basins with irregular coasts




by




Frédéric DUPONT



Department of Atmospheric and Oceanic Sciences
McGill University
Montreal













A thesis submitted to the
Faculty of Graduate Studies and Research
in partial fulfillment of the requirements for the degree of
Doctorate in Philosophy
© Frédéric DUPONT, Juin 2001

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ABSTRACT

Comprehension of global oceanic currents and, ultimately, of climate variability requires the use of computer modelling. Although much effort has been spent on the accuracy of traditional finite difference (FD) models used in ocean modelling, there are still concerns, especially since these models have a crude representation of the geometry of oceanic basins. Such a crude representation may influence the accuracy of modelling boundary currents, or unrealisticly represent the impinging of eddies or the propagation of Kelvin waves along the coastline. This motivated the use of alternative modelling techniques applied on completely irregular geometries such as finite element (FE) and spectral element (SE) methods. In this thesis, we want to investigate the accuracy and cost-effectiveness of these three numerical methods in irregular domains and to understand to which extent the unstructured grid FE and SE methods constitute an improvement over the more traditional FD methods. To accomplish this, we limit ourselves to modelling the shallow water equations in presence of irregular coastlines with no bottom topography.

In the first part of the thesis, we compare the performances of FD methods on Cartesian grids with FE and SE methods in various geometries for linear and nonlinear applications. We argue that the SE method is to a certain extent superior to FD methods. In a second part, we study the influence of step-like walls on vorticity budgets for wind-driven shallow water FD models. We show that vorticity budgets can be very sensitive to the FD formulation. This has certain implications for using vorticity budgets as a diagnostic tool in FD models. In the final part, we use a SE shallow water model for investigating the ``inertial runaway problem'' in irregular domains for the single-gyre Munk problem. Ideally, one would like the statistical equilibrium observed at large Reynolds number to be insensitive to model choices that are not well founded, e.g., the precise value of the viscous coefficient, and choice of dynamic boundary condition. Simple models of geophysical flows are indeed very sensitive to these choices. For example, flows typically converge to unrealisticly strong circulations, particularly under free-slip boundary conditions, even at rather modest Reynolds numbers. This is referred to as the ``inertial runaway problem''. We show that the addition of irregular coastlines to the canonical problem helps to slow considerably the circulation, but does not prevent runway.

RÉSUMÉ

La compréhension des courants océcaniques globaux et, ultimement, de la varibilité climatique requiert l'usage de la modélisation numérique. Bien que beaucoup d'effort ait été dépensé dans l'amélioration des modèles traditionnels aux differences finies (DF) utilisés dans la modélisation océanique, il reste des interrogations concernant la précision de ces modèles, et ce d'autant plus que ces modèles ont une représentation très grossière de la géométrie des bassins océaniques. Une telle grossière représentation peut modifier la précision des courants le long des frontières, ou mal représenter le choc des tourbillons sur, ou la propagation des ondes de Kelvin le long de la frontière. Ceci a motivé l'utilisation des méthodes numériques alternatives comme les éléments finis (EF) ou les éléments spectraux (ES) qui s'appliquent à des géométries complètement irrégulières. Dans cette thèse, nous voulons étudier la précision et le coût de ces trois types de méthodes numériques dans des domaines irréguliers et comprendre jusqu'à quel point les méthodes EF et ES fonctionnant sur des grilles irrégulières constituent un progrès comparé aux méthodes DF traditionnelles. Dans ce but, nous nous limitons à modéliser les équations en eaux peu profondes en présence des côtes irrégulières sans topographie.

Dans la première partie de cette thèse, nous comparons les performances des méthodes DF sur des grilles cartésiennes avec les méthodes EF et ES dans des géométries différentes pour des problèmes linéaires et non-linéaires. Nous argumentons que la méthode ES est, dans une certaine mesure, supérieure aux méthodes DF. Dans la seconde partie, nous étudions l'influence des marches d'escalier présentes le long des murs sur les budgets de vorticité pour des modèles DF en eaux peu profondes forcés par le vent. Nous montrons que les budgets de vorticité peuvent être très sensibles à la formulation DF utilisée. Ceci a certaines implications concernant l'utilisation des budgets de vorticité comme outil de diagnostique dans les modèles DF. Dans la dernière partie, nous utilisons un modèle ES en eaux peu profondes pour étudier le problème de ``fuite inertielle'' dans des domaines irréguliers pour le problème de Munk non-linéaire. Idéalement, on voudrait que l'équilibre statistique observé à grand nombre de Reynolds soit insensible au choix fait concernant des approximations mal--ou peu--fondées du modèle, comme la valeur du coefficient de viscosité turbulente ou le type de condition frontière. Les modèles simples de fluides géophysiques ont en effet tendance à être très sensibles. Par exemple, l'écoulement converge vers des circulations totalement irréalistes, particulièrement pour une condition frontière de glissement libre, et ce même pour des nombres raisonnables de Reynolds. C'est ce que l'on nomme ``fuite inertielle''. Nous montrons que l'inclusion de côtes irrégulières dans ce problème canonique permet de ralentir considérablement la circulation, mais n'élimine pas pour autant le problème de la fuite inertielle.

CONTRIBUTIONS

In Chapter 2, we develop our own adaptive spectral element method which is an automatic procedure for assessing local errors and increasing, accordingly, the resolution of the mesh. Test and use of this procedure are made in Chapters 3 and 5. We also develop our own curved spectral element method for better representing smoothly varying coastlines.

In Chapter 3, we develop a series of test cases in order to study the convergence with resolution of the accuracy and cost-effectiveness of each scheme in regular and irregular domains. The originality of this approach stems from the variety of numerical methods we test and compare, and the thorough study of the influence of the resolution on them. We explore the limitations of each numerical scheme.

In Chapter 4, we use vorticity budgets as a way to assess the accuracy of different numerical formulations for modelling wind driven ocean gyres in a rectangular basin. In particular, we demonstrate that, for finite difference formulations, the advective terms in the vorticity budget do not integrate to zero. This error can be exacerbated by the presence of near step-like structures along the boundary, such as those that occur when a straight coastline lies at an angle to the coordinate axes used for discretization. It is further found that this problem is minimized for certain numerical choices relating to the treatment of the advective and viscous terms.

In Chapter 5, we use a spectral element model to investigate the inertial runaway problem (i.e., that models produce unrealistically strong flows as dissipative parameters are reduced towards what are considered realistic values) in irregular domains. In particular, we show that small scale (but resolved) features in the coastlines lead to the generation of fine scale structure in the vorticity field, where the Rossby number can become of order unity, and the quasi-geostrophic approximation becomes suspect. That these occur under free-slip boundary condition contrasts the classic, rectangular basin case. We find that small scale structures in the coastline act to slow, but not to stop inertial runaway.



 
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Frederic Dupont
2001-09-11